Doctorat sur la représentation neuronale implicite et l'apprentissage d'opérateurs pour les problèmes multi-échelles en physique
Exa-MA : Méthodes et algorithmes pour Exascale
Poste de doctorant
Les candidatures doivent être déposées en ligne sur le site dédié. Pour plus d'informations, veuillez contacter Emmanuel Franck, chercheur au Centre Inria de l'Université de Lorraine: [email protected].
Contexte
Lancé en 2023 pour une durée de 6 ans, The NumPEx PEPR a pour objectif de contribuer à la conception et au développement de méthodes numériques et de composants logiciels qui équiperont les futures machines européennes Exascale et post-Exascale. NumPEx vise également à aider les applications scientifiques et industrielles à exploiter pleinement leur potentiel.
Exa-MA vise à révolutionner les méthodes et algorithmes pour l’échelle exascale : discrétisation, résolution, apprentissage et réduction d’ordre, problème inverse, optimisation et incertitudes. Nous contribuons à la pile logicielle des futurs ordinateurs européens.
Principales activités
À la lumière des succès significatifs obtenus par les méthodes d’apprentissage profond dans la vision assistée par ordinateur ou le traitement du langage, de nouvelles méthodes basées sur l’apprentissage ont émergé pour la simulation et la résolution d’EDP. On peut citer les méthodes PINN qui permettent de résoudre une EDP en remplaçant les approx- imations par éléments finis par des réseaux neuronaux [WSWP23]-[SS22] ou des opérateurs neuronaux qui approximent l’opérateur inverse de l’EDP et permettent de prédire rapidement la solution à partir de la source. Par exemple, dans [GPZ+23]-[CZP+24], les auteurs utilisent un opérateur neuronal pour prédire la dynamique d’un plasma dans une configuration simplifiée en un temps relativement court. De nombreuses applications réalistes, telles que la physique des plasmas, nécessitent de traiter des géométries compliquées et des phénomènes multi-échelles sur de longues durées. Le défi de cette thèse est donc d’essayer de pousser ces approches basées sur les réseaux neuronaux à un niveau plus élevé pour les problèmes multi-échelles. Nous aimerions étudier des approches qui maintiennent la précision et la stabilité à long terme sur des géométries générales.
Une première approche consistera à considérer la méthode Neural Galerkin [BPVE24] qui maintient une structure d’EDO dans le temps mais approxime la partie spatiale ainsi que la dépendance paramétrique de l’EDP par un réseau neuronal. Cette méthode permet d’utiliser les bonnes propriétés des réseaux à haute dimension pour réduire le nombre de degrés de liberté. Nous proposons de coupler cette approche avec les approches récentes des PINN pour traiter les géométries générales. Deuxièmement, nous visons à étudier la stabilité à long terme, qui est un problème critique, en incorporant la structure des équations [Sun19], en utilisant des schémas de division pour préserver la structure, ou en combinant le schéma avec des méthodes de « stabilisation » [BP24]. L’un des points clés sera de déterminer des architectures de réseaux neuronaux robustes.
La deuxième approche se concentre sur les opérateurs neuronaux. Les premiers résultats ont montré qu’il s’agit d’une voie prometteuse. Toutefois, les problèmes de stabilité à long terme restent importants. Nous souhaitons explorer plusieurs méthodes pour améliorer les approximations à long terme [MHSB23]-[LVP+23] et les étendre à des configurations multi-échelles. En plus de ces approches générales, nous pouvons également étudier comment incorporer la structure du problème physique dans l’architecture des opérateurs. Les approches obtenues seront couplées à des méthodes capables de traiter des géométries générales telles que [LKC+24]-[BET22] qui utilisent des noyaux intégraux paramétrés dans le domaine physique.
Les méthodes purement neuronales resteront limitées en termes de précision. C’est pourquoi, à terme, nous souhaiterions les coupler avec des approches numériques plus classiques pour obtenir des algorithmes plus rapides que les approches traditionnelles et fiables. Ce type de couplage a déjà donné des résultats très encourageants [FMDN23].
En résumé, ce thème représente une opportunité stimulante d’explorer les avancées récentes dans le domaine de l’apprentissage profond et de la simulation numérique. Nous proposons une approche équilibrée qui combine des méthodes traditionnelles et des techniques innovantes pour résoudre des problèmes complexes dans le domaine des sciences physiques. En particulier, nous validerons les approches des systèmes d’EDP fluides et MHD avec turbulence et mélange convectif, avec des applications potentielles à l’ingénierie et à la fusion. Les étudiants intéressés par les défis intellectuels et les applications pratiques de la modélisation informatique sont encouragés à poser leur candidature.
Compétences requises
- Un master en mathématiques appliquées dans le domaine des EDP et de l’analyse numérique ou un apprentissage automatique avec une connaissance des EDP et des méthodes numériques.
- Une bonne expérience du codage (de préférence en Python) est requise.
- Un bon niveau d’anglais est également recommandé